Содержание
В замкнутой экономике действуют два потребителя. Функция полезности первого потребителя равна
В замкнутой экономике действуют два потребителя. Функция полезности первого потребителя равна:
U1 = 2lnX1 + lnY1. Функция полезности второго потребителя составляет: U2 = lnX2 + 2lnY2.
Первоначальное распределение благ таково: WX1 = 30; WY1 = k; WX 2= 60; WY2 = 210—k, где k - положительный параметр.
Определить:
а) равновесную цену товара Х в Y;
б) доход каждого потребителя в равновесии;
в) если функция общественного благосостояния равна
W = lnM1 + lnM2, где М1 - совокупный доход первого потребителя; М2 - совокупный доход второго потребителя, определить возможно ли оптимальное по Парето распределение товаров между потребителями?
Решение:
а) Найдем точки оптимума для первого и второго потребителя, исходя из условия, что потребители максимизируют полезность при бюджетном ограничении в виде денежной оценки первоначального набора благ:
PXxXl + PYxYl = PXxWXl + PYxWYl
PXxX2 + PyxY2 = PXxWX2 + PYxWY2
Пусть цена второго товара равна единице: PY=1. Тогда, решая задачу на максимизацию, находим оптимальные значения потребления каждого товара для двух потребителей:
Xl*=2/3xl/Px(30P+k)
Y1* = 1/3(30P+k)
X2* = l/3xl/Px(60P+210-k)
Y2*=2/3x(60P+210-k), где Р - цена товара Х.
Так как Х1*+Х2* =210, то получаем новое выражение для совокупного объема товаров в экономике, подставляя равновесные значения потребления Х1* и Х2*.
1,3(30Р+k)+2/3(60P+210-k) = 210
Откуда находим равновесную цену:
50P=70+k/3
Р = (210+k)/150
б) Доход каждого потребителя равен сумме произведения цены товара на первоначальное количество товара, которым располагает данный потребитель.
Доход первого потребителя будет равен:
M1 = PxWXl+WYl = 30P+k
Так как из равновесного уровня цены: k = 150P-210, то доход первого потребителя равен: M1 = 30P+150P-210 = 180P-210.
Точно также находим доход второго потребителя:
M2 = PxWX2+WY2 = 420-90P
Выразим доходы потребителей через k:
Выразим доход второго потребителя через значение дохода первого потребителя: так как k = 5,6(М1^2), то
M2 = 294 - 3,5[5,6(М1^2)] = 315 - 1,2M1.
в). Подставим значения доходов потребителей в функцию общественного благосостояния: W=lnMl+lnM2= In I210"1"6 I + In I 1470~3 I
Мы получили выражение функции общественного благосостояния через одну неизвестную - k.
Найдем условие первого порядка максимума функции общественного благосостояния по отношению к величине k: dW_6w Б 3w 5 _р
dk 5 (210+бк) 5 (1470-Зк)
Откуда получаем равновесное значение k:
k* = 227,5
Так как k*>210, то данное решение невозможно в этой экономике. Поэтому мы будем иметь угловое решение: k=210 при котором доход первого потребителя равен: M1* = 294, доход второго потребителя составляет: M2* = 168.
Равновесная цена Х равна: P* = 2,8, равновесный объем потребления первого товара для двух потребителей составляет: X1* = 70 и X2* = 112. Равновесный объем потребления второго товара для двух потребителей составляет: Y1*= 910 и Y2* = 112.
Отметим, что данное распределение не является оптимальным по Парето, так как здесь не выполняется равенство предельных норм замещения двух товаров для каждого потребителя.
Предельная норма замещения XY для первого потребителя в равновесии равна: MRSXY(1) = 2Y1/X1 = 2 ^ = 26
Предельная норма замещения YX для второго потребителя в равновесии составляет:
MRSYX (2) = 2X2/Y2 = 2 = 2
MRSXY(1)>MRSYX(2)
оптимальное состояние для экономики недостижимо, поэтому приходится мириться с неравновесием по Парето.
++ Ответ: а) равновесная цена составит : я = ; б) доход первого потребителя: M1 = (210+6k)/5; доход второго потребителя M2 = 315 - 1.2M1; в) оптимальное состояние для экономики недостижимо, поэтому приходится мириться с неравновесием по Парето. Первый потребитель использует слишком много товара Х и слишком мало товара Y. Второй потребитель использует относительно много товара Y и относительно мало товара Х.