Содержание
На далекой планете М погода бывает трех типов: жара, дожди или стужа. Каждый календарный день держится погода ровно
На далекой планете М погода бывает трех типов: жара, дожди или стужа. Каждый календарный день держится погода ровно одного типа (на следующий день тип погоды может смениться, а может и не смениться). Достоверно прогнозировать погоду на планете М никто не умеет. Сегодня страховая компания «Улыбка природы» предлагает своим клиентам застраховаться от плохой погоды завтра. Существует страховка трех видов: от жары, от дождей и от стужи. За каждый рубль, уплаченный сегодня в качестве страхового взноса от жары, «Улыбка природы» готова заплатить k рублей в случае наступления жары завтра (если завтра жара не наступает, то «Улыбка природы» по этой страховке ничего не выплачивает). Аналогично, за каждый рубль, уплаченный сегодня в качестве страхового взноса от дождей и стужи, «Улыбка природы» выплатит l и m рублей в случае наступления завтра дождей и стужи соответственно. Здесь k, l, m > 1. Клиентам разрешается делать любой положительный страховой взнос.
(3 балла) а) Пусть k = l = m = 5. Один клиент «Улыбки природы» утверждает, что он «покупая различные страховки, может гарантированно заработать некоторую положительную сумму денег». Верно ли это утверждение?
(7 баллов) б) Пусть k = 2, l = 3. При каких m Вы, покупая различные страховки компании «Улыбка природы», можете гарантированно заработать положительную сумму денег?
Решение:
а) Да, клиент прав. Предположим, что мы застрахуемся на 100 рублей от жары, на 100 рублей от дождя и на 100 рублей от стужи. Мы заплатили компании «Улыбка природы» 300 рублей. По условию задачи известно, что завтра наступит один из трех типов погоды: жара, дождь или стужа. Следовательно, вне зависимости от того, какая погода наступит завтра, выплата ровно по одной из страховок принесет нам 500 рублей. Таким образом, мы гарантированно (без какого-либо риска) заработаем 200 рублей, а «Улыбка природы» потеряет эту же сумму. Видимо, «Улыбке природы» стоит подумать над тем, чтобы сменить своих финансовых аналитиков.(3 балла)
б) Предположим, что мы заплатим в качестве страхового взноса от жары, дождей и стужи p1, p2 и p3 рублей соответственно, p1, p2, p3 > 0. В сумме мы заплатили p1+p2+p3 рублей. В случае, если завтра наступит жара, страховая компания выплатит нам 2p1 рублей; если дождь – 3p2 рублей; если стужа – mp3 рублей. Следовательно, мы можем гарантированно (без какого-либо риска) заработать денег в том и только в том случае, если существуют такие p1, p2, p3 > 0, что наша прибыль в каждом из трех возможных случаев больше нуля (3 балла):
p1-p2-p3 > 0
-p1+2p2-p3 > 0
-p1-p2+(m-1)p3 > 0.
Сложив первые два неравенства, получаем, что p2>2p3. Тогда из первого неравенства следует, что p1>p2+p3>3p3. Из третьего неравенства получаем, что (m-1)p3>p1+p2>5p3. Отсюда следует, что m-1>5, или m>6. Это необходимое условие, то есть при m ≤ 6 мы не сможем гарантированно заработать денег (3 балла). Покажем, что условие m>6 является достаточным, то есть при любом m>6 у нас получится получить гарантированную прибыль. Пусть m>6. Выберем
p1=(7m+12)/18, p2=(5m+6)/18, p3=1.
Легко видеть, что при этих значениях p1, p2, p3 все три неравенства выполняются. Таким образом, условие m>6 является необходимым и достаточным (1 балл).